Inclusión y Exclusión

Ejercicios

1. Hallar cuantos enteros hay en el rango  que no sean divisibles por 2,3,5.

C1=2

C2=3

C3=5

N=n-[N(C1)+N(C2)+N(C3)]+[N(C1C2)+N(C1C3)+N(C2C3)]-N(C1C2C3)

N=1000-[500+333+200]+[166+100+66]-33

N=1000-1033+332-33

N=1332-1066=266

2. En una escuela hay tres tipos actividades extracurriculares: entrenamientos de olimpiada de matemáticas, entrenamientos de fútbol americano, y clases de actuación. Todos los estudiantes sin excepción deben de llevar al menos una actividad extracurricular, pero pueden inscribirse en todas las que quieran al mismo tiempo. Se sabe lo siguiente respecto al número de estudiantes en las actividades:

• Hay 50 en la de matemáticas, 50 en la de actuación, y 100 en la de fútbol.
• Hay 15 que son tanto de matemáticas como de actuación, 10 que son tanto de actuación como de fútbol, y 30 que son tanto de fútbol como de matemáticas.
• Hay 5 personas que son tanto de matemáticas, como de actuación y fútbol.

¿Cuántas personas hay en la escuela?

Podemos hacer un diagrama de Venn para facilitarnos las cosas y ver un poco mejor qué es lo que pasa aquí:

Sea T el total de estudiantes que hay en la escuela. Usando la primera pista, tendríamos que

T=50+50+100=200

pero hay estudiantes que estamos contando de más. Para quitar las repeticiones, utilizamos la segunda pista. Por ejemplo, hay 15 personas que son tanto de matemáticas como de actuación, así que esa cantidad de personas la estamos considerando doble en nuestra primera suma, por lo que hay que restarla una vez para equilibrar nuestras cuentas. Usando el mismo razonamiento para el resto de la información de la segunda pista, tenemos nuestra nueva cuenta como

T=(50+50+100)−(15+10+30)=200−55=145

pero aun estamos haciendo algo incorrecto. Pensemos: Utilizando la primera pista hicimos la suma de tres cantidades, y dentro de esas cantidades contamos tres veces un grupo de personas: el que va a las tres actividades. Ahora, al usar la segunda pista hicimos la resta de tres cantidades, en las cuales de nueva cuenta se encuentra este peculiar grupo. ¿Qué quiere decir? Que en el resultado nuevo que obtuvimos, no hemos sumado al grupo que va a las tres actividades. Es donde sale al rescate la tercera pista, con cual ahora sí obtenemos el resultado correcto:

T=(50+50+100)−(15+10+30)+(5)=200−55+5=150.

Por lo tanto, el resultado es 150 estudiantes.